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Settimana 0
Giov 24.09 Presentazione del docente e del corso. Presentazione della pagina web del corso. Descrizione degli spazi della facoltà (centro di calcolo, aula Ghizzetti, fontanella). Descrizione dettagliata della modalità di esame scritto e orale. Date degli esami. Definizione dei libri di testo adottati. Definizione dell’orario delle lezioni. Utilizzo di MATLAB e richiesta di iscrizione al corso MATLAB onramp.
Intersezione, unione e differenza di insiemi. Prodotto cartesiano di insiemi. Cardinalità di un insieme. Numeri naturali \(\mathbb{N}\), numeri interi \(\mathbb{Z}\), numeri razionali \(\mathbb{Q}\), numeri reali \(\mathbb{R}\). Definizione di relazione di equivalenza su un insieme (proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva). Classi di equivalenza come parti disgiunte dell’insieme. Le frazioni sono classi di equivalenza. Operazione su un insieme. Proprietà di un’operazione: associatività, esistenza di un elemento neutro, opposto di un elemento, commutatività. Definizione di gruppo commutativo.
Simboli matematici: \(\{\cdots\}\), \((\cdots)\), \(\mid\), \(:=\), \(\subset\), \(\subseteq\), \(\supset\), \(\supseteq\).
Quantificatori: \(\forall\), \(\exists\).
Settimana 1
Lun 28.09 Definizione di campo. Definizione di funzione. Immagine di una funzione. Simbolo matematico \(\exists!\). Esempi di dimostrazioni: \(\sqrt{2}\) non è un numero razionale. Definizione di polinomio a coefficienti in un campo. Grado di un polinomio. Notazioni: \(\mathbb{K}[x]\), \(\mathbb{K}[x]_{\le n}\). Somma e prodotto di polinomi. Divisione euclidea di polinomi (quoziente e resto). Valutazione di un polinomio in un numero. Polinomi costanti. Grado di un polinomio.
Mar 29.09 Definizione dei numeri complessi \(\mathbb{C}\). Somma e prodotto in \(\mathbb{C}\). Teorema: \((\mathbb{C},+,\cdot)\) è un campo; definizione dell’inverso di un numero complesso. Coniugio complesso e sue proprietà. Norma complessa e sue proprietà. Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso. I numeri reali sono un sottocapmo dei numeri complessi, se identificati ad i numeri complessi che hanno parte immaginaria uguale a zero. Radici o zeri di un polinomio. Teorema: formula per le radici di un polinomio di grado due. Proposizione: \(p(\alpha)=0\) se e solo se \(p(x)=(x-\alpha)q(x)\). Teorema fondamentale dell’algebra. Molteplicità algebrica di una radice.
Mer 30.09 Definizione di matrice \(m\times n\) a coefficienti o entrate o componenti in un campo \(\mathbb{K}\). Notazioni: \(\mathrm{Mat}_{m\times n}(\mathbb{K})\). Componenti di una matrice. Notazioni: \(A_i^j=a_{ij}\). Matrici colonna. Notazione: \(\mathbb{K}^n\). Matrici riga. Notazione: \(\mathbb{K}_m\). Somma di matrici. Proprietà della somma di matrici: Le matrici mxn formano un gruppo commutativo rispetto alla somma. Prodotto per scalari nell’insieme delle matrici mxn. Proprietà del prodotto per scalari. Pivot ed indici-pivot di una matrice. Matrici a scala. Colonne dominanti di una matrice a scala. Matrici a scala ridotta.
Giov 01.10 Teorema: tricotomia delle soluzioni di un’equazione lineare in una sola variabile. Equazioni lineari in \(n\) variabili a coefficienti in un campo \(\mathbb{K}\): Matrice dei coefficienti e matrice completa associata; la matrice completa determina univocamente l’equazione; pivot; indice-pivot; variabile dominante e variabili libere; soluzioni. Notazione: \(S(A|b)\) e \(S(A)\). Equazioni lineari ridotte. Combinazioni lineari e span di elementi di \(\mathbb{K}^n\). Soluzioni-base di un’equazione lineare.
Comandi MATLAB: \( \texttt{null}\)
Settimana 2
Lun 05.10. Equazioni lineari omogenee. Risoluzione di equazioni lineari omogenee. Soluzioni-base di equazioni lineari omogenee. Teorema: \(S(A)\)=span delle soluzioni-base. Equazione omogenea associata ad un’equazione lineare. Somma di sottoinsiemi di \(\mathbb{K}^n\). Soluzione particolare \(X\\_0\) di un’equazione lineare \(A\mid b\). Teorema: \(S(A\mid b)=X\\_0+S(A)\) se non vuoto; e' vuoto se esolo se \(b\) non è zero e \(A\) è la matrice nulla. Sistemi lineari. Matrice dei coefficienti, matrice completa e matrice dei termini noti di un sistema lineare. Notazione \(:\) per denotare le soluzioni di un sistema lineare.
Comandi MATLAB: \(==\), \(\texttt{linsolve}\), \(\backslash\), \(\texttt{rref}\).
Mar 06.10. Sistemi a scala. Indici-dominanti, Variabili dominanti e variabili libere di sistemi a scala. Teorema di caratterizzazione dei sistemi a scala risolubili. Tecninca della sostituzione all’indietro. Sistemi a scala ridotta.
Mer 07.10 Soluzione partciolare di un sistema a scala ridotta risolubile. Comando MATLAB \(\texttt{linsolve}\) o \(\backslash\). Sistemi lineari omogenei; sistemi lineari omogenei associati ad una matrice o ad un sistema lineare. Soluzioni-base di un sistema lineare omogeneo a scala ridotta. Teorema: le soluzioni di un sistema lineare omogeneo a scala ridotta sono esattamente lo span delle sue soluzioni-base. Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare a scala ridotta.
Giov 08.10 Sistemi equivalenti. Matrici equivalenti per righe. Se due matrici a scala sono equivalenti per righe allora anche le sottomatrici lo sono e con le stesse operazioni elementari. Se due matrici sono equivalenti per riga allora le colonne nulle si trovano nelle stesse posizioni, in particolare la matrice nulla è equivalente per righe solo a se stessa. Se due matrici sono equivalenti per righe allora i sistemi lineari ed i sistemi lineari omogenei ad esse associati sono equivalenti; in particolare due matrici equivalenti per righe hanno lo stesso nucleo. Se due matrici a scala sono equivalenti per righe allora hanno gli stessi indici dominanti. Rango di una matrice a scala. Algoritmo di Gauss: ogni matrice è equivalente per righe ad una matrice a scala. Definizione di inidici-dominanti, colonne dominanti e rango di una matrice qualunque. Teorema: ogni matrice è equivalente per righe ad un’unica forma a scala ridotta. Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare risolubile. Sistemi con parametro.
Comandi MATLAB: \(A([..],[..])), \(A(:,[..])) e \(A([..],:)), \(\texttt{rk}(A)\), \(\texttt{rref}(A)\)
Settimana 3
Lun 12.10 Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare risolubile. Matrici di rango massimo. Sistemi con un’unica soluzione. Sistemi che ammettono soluzione per ogni scelta dei termini noti. Sistemi non-singolari. Sistemi lineari e combinazioni lineari. Ogni colonna di una matrice è combinazione liineare delle colonne dominanti ed i coefficienti si leggono dalla forma a scala ridotta. Geometria del piano. Algebrizzazione della geometria. Il piano euclideo. Notazioni per punti, segmenti, poligoni e angoli. Angolo piatto. Angolo retto. Triangoli acutangoli e ottusangoli. Triangoli simili. Criteri di similitudine dei triangoli.
Mar 13.10 Lezione annullata.
Mer 14.10 Angoli alterni interni, alterni esterni e corrispondenti. Parallelogrammi. Teorema del parallelogrammo. Teorema di Talete. Teorema di Tolemeo. Teorema di Pitagora. Vettori geometrici del piano: lunghezza o modulo, direzione. Vettori geometrici paralleli ed equiversi. Vettori geometrici equivalenti.
Gio 15.10 Proposizione: “Essere equvialenti” è una relazione di equivalenza. Vettori geometrici applicati ad un punto. L’insieme \(\mathcal{V}_O^2\) dei vettori geometrici applicati ad un punto \(O\). Proposizione: ogni vettore geometrico è equivalente ad un unico elemento di \(\mathcal{V}_O^2\). Somma di vettori geometrici applicati in \(O\). Teorema: \((\mathcal{V}_O^2,+)\) è un gruppo commutativo. Metodo punta-coda. Regola del paralllelogrammo. Prodotto per scalari in \(\mathcal{V}_O^2\). Teorema: proprietà del prodotto per scalari (cenni alla dimosttazione: essa usa il teorema di Talete). Esercizi sui vettori geometrici.
Settimana 4
Lun 19.10 Lezione annullata
Mar 20.10 Proposizione: \(\overrightarrow{AB}\equiv \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\). Identificazione di \(\mathcal{E}^2\) con \(\mathcal{V}_O^2\). Vettore-posizione di un punto. Identificazione di una retta con l’insieme dei vettori-posizione dei suoi punti. Combinazioni lineari e span in \(\mathcal{V}_O^2\). Lo span di \(\overrightarrow{OO}\) è il punto \(O\). Basi di \(\mathcal{V}_O^2\). Sistemi di riferimento affini. Teorema: Ogni elemento di \(\mathcal{V}_O^2\) si scrive in maniera unica come combinazione lineare degli elementi di una base. Coordinate in una base. Descrizione parametrica di una retta passante per \(O\) e sua parametrizzazione. Rette parametriche. Vettore-direttore di una retta. Forma cartesiana di una retta del piano in un riferimento affine.
Mer 21.10 Sistemi di riferimento cartesiani e basi ortonormali. Retta passante per due punti. Condizione di parallellismo di due rette (sia parametriche che cartesiane). Condizione di incidenza di due rette (sia parametriche che cartesiane)e. Posizione reciproca di due rette (parametrica-parametrica e cartesiana-cartesian). Il segmento. Combinazioni convesse. \(\mathrm{Conv}(P_1,\cdots, P_n)\). Proposizione: \(\mathrm{Conv}(P_1,\cdots, P_n)\) è il più piccolo insieme convesso che contiene i punti \(P_1,\cdots, P_n\) e si chiama il loro inviluppo convesso (dimostrazione omessa). Il triangolo come combinazione convessa dei suoi vertici.
Giov 22.10 Baricentro di n punti e baricentro dei vertici di un invilippo convesso. Posizione reciproca di due rette (parametrica-cartesiana). Equazioni cartesiane di un punto. Posizione reciproca di un punto e di una retta. Posizione reciproca di due punti. Condizione di incidenza punto-retta. Fascio di rette per un punto. Fascio improprio di rette. Fascio di rette per due rette. Versori. Bisetrrici di un angolo. Definizione della proiezione su una retta lunga una retta ad essa incidente.
Settimana 5
Lun 26.10 Proposizione: la proiezione su una retta \(r\) lungo un’altra retta è lineare se e solo se \(r\) contiene l’origine. Proiezione ortogonale. Distanza tra sottoinsiemi del piano. Teorema: La proiezione ortogonale di un punto su una retta è il punto della retta più vicino al punto dato. Prodotto scalare in \(\mathcal{V}_O^2\).
Per definizione, \(pr_{v_1}(v_2)=\frac{v_1\bullet v_2}{|v_1|}v_1\).
Proprietà del prodotto scalare (simmetrico, bilineare, non-degenere e definito positivo). In un riferimento cartesiano, il prodotto scalare in \(\mathcal{V}_O^2\) diventa il prodotto puntino in \(\mathbb{R}^2\).
Mar 27.10 (un’ora) Norma. Distanza tra due punti. Distanza punto-retta parametrica. Angoli in \(\mathbb{R}^2\). Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Mer 28.10 Vettori ortogonali. Vettori e versori normali ad una retta. Distanza punto-retta. Il determinante di \(\mathcal{V}_O^2\). Proprietà del determinante. Il determinante come area orientata. Teorema di Cramer per la risoluzione di sistemi \(2\times 2\) non-singolari. Il determinate di \(\mathcal{V}_O^2\) come area orientata. Teorema: interpretazione geometrica dei coefficienti delle combinazioni convesse dei vertici di un triangolo. Analisi qualitativa della posizione di un punto di un triangolo, conoscendo i suoi coefficienti come combinazione convessa dei vertici. Punti notevoli di un triangolo: Baricentro, incentro, ortocentro e circocentro.